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By N. Jacobson

ISBN-10: 082184640X

ISBN-13: 9780821846407

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9 muß mit ij vertauschbar sein. Diese Bedingung reicht aber auch hin, denn wenn sie erfiUlt ist, so enthält 9 ij zugleich mit jedem Elemente gh auch das Inverse h-1g-1 und außerdem zu je zwei Elementen auch das Produkt wegen gijgij =ggijij =gij. Also: Das Produkt 9 ~ von zwei Untergruppen 9 und ij von, & ist dann und nur dann wieder eine Gruppe, wenn die Untergruppen 9 und ij vertauschbar sind. Dazu ist natürlich nicht erforderlich, daß jedes Element von 9 mit jedem Element von ij vertauschbar ist.

H. wenn aus ab = 0 stets a = 0 oder b = 0 folgt, so spricht man von einem Ring ohne Nullleiler. Ist der Ring außerdem kommutativ, so wird er auch Integritätsbereich genannt. Beispiele. ) sind Ringe ohne Nullteiler. = 0 gibt. 44 Ringe und Körper. denn setzt man so ist 1+0 1 , I = I {x) = max (0, x), g = g(x) = max (0, - x). g + 0, I g = O. Aufgaben. 1. l = (al bl • a. (al' aal . ) a. + bll. bilden einen Ring mit Nullteilern. 2. Es ist erlaubt. eine Gleichung a x = a y durch a zu kürzen. falls a kein linker Nullteiler ist.

Die Multiplikation der Basiselemente ist assoziativ und kommutativ; daher wird @ ein kommutativer Ring mit Einselement e. Die Vielfachen oce können mit den reellen Zahlen oc identifiziert werden. Statt ae+bi schreiben wir also a+bi. Wegen (a - bi) (a + bi) = a2 +b 2 >0 (außer für a = b = 0) hat jedes von Null verschiedene Element a + bi ein Inverses, nämlich (a 2 + b2 t 1 (a - bi). Der Ring @ ist also ein Körper, der Körper der komplexen Zahlen. Dasselbe gilt, wenn man für m den Körper der rationalen Zahlen nimmt.

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Structure and representations of Jordan algebras by N. Jacobson


by Anthony
4.5

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