Algèbre et arithmétique 1 - download pdf or read online

By Christophe Mourougane

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Lorsque ????????+1 = 0, l’entier ???????? est donc le pgcd de ???? et ????. On va montrer par récurrence sur ???? que l’on a ???????? = ???????????? + ???????????? . C’est vrai pour ???? = 0 car ???? = ????0 = ???? × 1 + ???? × 0 = ????????0 + ????????0 ; c’est aussi vrai pour ???? = 1 puisque ????1 = ???? = ???? × 0 + ???? × 1. 5. PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN, ALGORITHME D’EUCLIDE 39 Supposons que ce soit vrai pour tout entier compris entre 0 et ???? et montrons que c’est vrai pour ???? + 1. On a en effet, si ???? est le quotient de la division euclidienne de ????????−1 par ???????? , ????????+1 = ????????−1 − ???????????? = (????????????−1 + ????????????−1 ) − ????(???????????? + ???????????? ) = ????(????????−1 − ???????????? ) + ????(????????−1 − ???????????? ) = ????????????+1 + ????????????+1 .

Il existe un algorithme pour calculer le pgcd, à la fois performant pour le calcul pratique (notamment au sein des ordinateurs) et fondamental pour la théorie. Algorithme d’Euclide. — Soit ???? et ???? deux entiers strictement positifs. On pose ????0 = ????, ????1 = ???? et, tant que ????????+1 = ̸ 0, on définit par récurrence ????????+2 comme le reste de la division euclidienne de ???????? par ????????+1 . À un certain moment, on a ????????+1 = 0 et ???????? = pgcd(????, ????). 38 CHAPITRE 3. LA DIVISION EUCLIDIENNE Donnons un exemple et calculons le pgcd de 414 et 598.

Avec ???????? ∈ ???????? . On a ???? choix pour ????1 , il reste alors ???? − 1 choix pour ????2 , puis ???? − 2 choix pour ????3 , etc. et finalement ???? − ???? + 1 choix pour ???????? . Ainsi, comme ces choix sont indépendants, A???????? = ????(???? − 1) . . (???? − ???? + 1) = ????! (???? − ????)! En particulier, A???????? = ????! d’où l’on déduit (︃ )︃ ???? ???? = ????! (???? − ????)! pour tout 0 ≤ ???? ≤ ????. 6. 1. — Soit ???? un entier naturel non nul (11) . Le nombre de bijections d’un ensemble à ???? éléments dans lui même (on dit aussi de permutations d’un ensemble à ???? éléments) est ????!.

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Algèbre et arithmétique 1 by Christophe Mourougane


by William
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