Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die - download pdf or read online

By Kurt-Ulrich Witt

ISBN-10: 3658040750

ISBN-13: 9783658040758

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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Wenn wir das Einselement im Allgemeinen mit e bezeichnen, dann gilt also a ∗ e = a f¨ur alle Elemente a der Struktur. So ist die Null das Einselement bei der Addition ganzer Zahlen, und die Eins ist das Einselement bei der Multilikation; das Einselement bei der Komposition von Funktionen ist die Identit¨at id (x) = x. 2 Stellen Sie fest, ob die in den Abbildungen 7 – 9 dargestellten Strukturen Einselemente besitzen und geben Sie diese gegebenenfalls an! ✷ Aufgrund dieser Beobachtungen von Gemeinsamkeiten verschiedener Rechenstrukturen werden wir im Folgenden von konkreten Rechenstrukturen abstrahieren und mithilfe von genannten und weiteren Eigenschaften abstrakte Rechenstrukturen definieren und untersuchen.

2 b). 6 Gruppenhomomorphismen ¨ Wir haben in den bisherigen Beispielen und Ubungen eine Reihe von Gruppen betrachtet, welche dieselbe Anzahl von Elementen und verschiedene Verkn¨upfungen haben. Es stellt sich die Frage, ob diese Gruppen tats¨achlich verschieden sind oder ob in ihnen nicht dasselbe berechnet wird, nur mit anderen Elementen und verschiedenen Bezeichnungen f¨ur die Verkn¨upfungen. In den folgenden Abschnitten f¨uhren wir Begriffe f¨ur den Vergleich von Gruppen ein. 1 Beispiele und Definitionen Wie viele Gruppen mit genau einem Element gibt es?

Pk . Insgesamt haben wir eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Primfaktorenzerlegung von a erreicht: a = p · a = p · p1 · . . · pk Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der Faktorisierung einer Zahl in Primfaktoren. Dazu nehmen wir an, dass es mindestens eine nat¨urliche Zahl mit zwei unterschiedlichen Faktorisierungen gibt; n sei die kleinste von diesen. Wir u¨ berlegen Folgendes: (1) n kann keine Primzahl sein, denn Primzahlen besitzen genau eine Faktorisierung, die nur sie selbst als einzigen Faktor enth¨alt; n ist also eine zusammengesetzte Zahl.

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Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die Informatik by Kurt-Ulrich Witt


by Michael
4.0

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